Desde hace algún tiempo no he actualizado mi blog pues he estado concentrado en un nuevo proyecto web (que ya nació hace un mes) y que ha absorbido un poco de mi tiempo: Se trata de Vida Efectiva Magazine, una revista en línea para jóvenes entre los 18 y 25 años que temas diversos sobre Viajes, Salud, Humor, Dinero/Negocios, Empleo/Estudios, Fitness y Sexo.

Como sabrán, tengo (junto con mis dos buenos amigos Alex y Héctor) una empresa de consultoría llamada AK Iguana Consultores, C.A. donde prestamos servicios de consultoría en Tecnologías de la Información. Decidimos incursionar al mundo de la generación de contenido para la web con el formato de una revista. Comenzamos buscando talento venezolano y vaya que lo encontramos: Georgina, Marlyn y Andrea, tres excelentes chicas muy comprometidas con el proyecto.

Espero nos acompañen en éste emprendimiento y que nos dejen sus impresiones y críticas.

He decidido escribir éste post debido a la dificultad que presentan algunos estudiantes al momento de intentar resolver una integral, pues no saben que método/técnica van a aplicar. Pues bien, aunque parezca duro decirlo, sólo la práctica podrá indicar que método usar. La integración es más desafiante que la derivación pues para hallar la derivada de una función resulta obvio cuál fórmula de derivación se debe aplicar. Lo que no es obvio es la técnica que se debe usar para integrar una función dada.

No se puede dar ninguna regla infalible en cuanto a qué método se aplica en una determinada situación, pero intentaré dar cierta orientación sobre la estrategia que podría resultar útil.

Lo primero es conocer las fórmulas básicas de integración y memorizarla tal y como memorizamos las tablas de multiplicar en el colegio. Esta es una condición “sine qua non”.

Una vez que se cuenta con éstas fórmulas básicas de integración, si no se ve de inmediato cómo proceder a resolver una integral dada, entonces sigue los siguientes pasos:

1. Simplificar el integrado si es posible

A veces el uso de operaciones algebraicas o identidades trigonométricas simplifica el integrando y hace evidente el método de integración: Aplicar propiedad distributiva, desarrollo del producto notable, aplicación de identidades trigonométricas, racionalización, factorización, etc.

2. Buscar una sustitución obvia

Intenta hallar alguna función u=f(x) en el integrando cuya derivada du = f’(x) también aparezca en dicho integrando.

3. Clasificar el integrando de acuerdo con su forma

Si los pasos anteriores no han llevado a la solución, debe verse la forma que tiene el integrando:

• Funciones trigonométricas

Si el integrando es producto de potencias de senos y cosenos o productos de potencias de secantes, tangentes, cosecantes y cotangentes debe aplicarse el método de integración trigonométrica.

• Funciones racionales

Si el integrando es una función racional debe aplicarse el método de fracciones parciales.

• Integración por partes

Si el integrando es un producto de una potencia de x (o un polinomio) y una función trascendental (como una función trigonométrica, exponencial o logarítmica), debe aplicarse integración por partes.

• Radicales

En la mayoría de los casos se aplica el método de sustitución trigonométrica.

4. Intentar algunos artificios

Si los tres pasos anteriores no producen respuesta, recuerda que hay básicamente sólo dos métodos de integración: sustitución y por partes. Prueba sustitución aún cuando no sea obvia.

Aplicar todo tu ingenio ayuda a resolver la integral, pero ésto lo vas desarrollando con el tiempo y con mucha práctica.

Es sorprendente el porcentaje de búsqueda en Google del término “avi ben stella” en los últimos días. Pero quién es (o qué es) Avi Ben Stella? Pues no es mas que un Hoax (noticia falsa) sobre un niño que tuvo un accidente automovilístico y que está circulando intensamente en Facebook. Un artículo de Darío Martínez Batlle llamado ¿Qué aprendistes de Avi Ben Stella? en su blog 40limones.com explica de que se trata todo ésto.

De su articulo resalto “las cinco principales lecciones que nos enseña Avi Ben Stella:”

1. Aprender que no todo en Internet es verídico.

2. Aprender a tomar con precaución todas estas cosas “extraordinarias” que recibes.

3. Aprender a verificar las cosas antes de redifundirlas. ¡Con google es muy sencillo!

4. Aprender a deshacer lo mal hecho. No seas cómplice.

5. Aprender que las cadenas como ésta de Avi Ben Stella no esconden su maldad en la primera mordida, sino en las subsiguientes.

Creo que viviremos eternamente con los correos cadena/basura, pero lo importante es no formar parte de ésto.

La expresión es un binomio. Al elevarlo al cuadrado resulta:

y cuando se trata de una diferencia:

Por lo que podríamos escribir ambas expresiones en una sola de la siguiente manera:

Ésta última expresión se utiliza con mucha frecuencia para factorizar un polinomio. Noten que factorizar la expresión es el proceso inverso a desarrollar la expresión

Como siempre, veamos un ejemplo sencillo:

Siguiendo con el tema de las factorizaciones continuemos con el método de factorización por diferencia de cuadrados, y para ello basta con recordar lo siguiente:

En efecto, al multiplicar la expresión resulta:

y es ésta igualdad la que nos permite factorizar las expresiones que contienen diferencias de cuadrados.

¡Es realmente sencillo!

Veamos un video de ejemplo:

He notado con preocupación que muchos estudiantes de educación media no manejan los aspectos básicos de las matemáticas y factorizar expresiones algebraicas es uno de ellos.

Como una pequeña contribución voy a colocar una serie de videos explicativos no sólo sobre el tema de factorización, sino de otros aspectos básicos pero esenciales para enfrentar con éxito las primeras asignaturas de las carreras de Ciencias e Ingeniería.

Comencemos con el método de factorización por factor común. Factorizar significa descomponer una expresión en un producto de dos o más partes. Éstas partes en las que se descompone la expresión se llaman factores. La factorización se basa en la propiedad distributiva del producto respecto a la adición, es decir:

Vamos a ver un video con un ejemplo bien sencillo que muestra cómo se aplica la factorización por factor común.

Luego complementaré ésta entrada con mas ejemplos y en los siguientes posts iré agregando otros métodos de factorización con sus respectivos ejemplos.

Aquí hay otro ejemplo bastante sencillo:

El próximo 12 y 13 de noviembre de 2009 en la ciudad de Mérida y bajo el lema “Expandiendo las Fronteras del Conocimiento” se realizará ésta excelente conferencia que busca ser un espacio vivo y dinámico para intercambiar, discutir, debatir y difundir conocimientos, experiencias e información relacionados con el avance de la tecnología en el mundo de las bibliotecas y la educación a distancia.

Entre las temáticas a tratar se encuentran:

• Gestión del Conocimiento y las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC)

• El Conocimiento en los espacios colaborativos y bibliotecas digitales

• El Conocimiento en la Educación a Distancia

Y es precisamente en éste último tema el que llama completamente mi atención pues me interesa sobremanera la práctica docente y la generación de recursos educativos para la Web.

Lamentablemente la recepción de los documentos para los ponentes fué hasta el 10 de julio de 2009 pero aún se puede participar como asistente o como patrocinante.

Para mayor información visita la página del evento.

Seguramente nos encontraremos ahí…

Según el libro de G. Polya “Cómo plantear y resolver problemas” lo que se necesita para resolver un problema es lo siguiente:

1. Comprender el problema

2. Concebir un plan

3. Ejecutar el plan

4. Examinar la solución obtenida

Para comprender el problema debemos preguntarnos sobre las incógnitas, los datos y las condiciones. Para concebir el plan sería bueno saber si antes nos hemos encontrado con un problema similar, ver si podemos plantear el problema de otra forma y luego describir los pasos que vamos a llevar a cabo. Al ejecutar el plan debemos comprobar cada uno de los pasos y finalmente para examinar la solución obtenida debemos poder verificar el resultado obtenido.

Unas sencillas pero efectivas reglas a seguir a la hora de resolver problemas.

Información sobre el libro “Cómo plantear y resolver problemas” por G. Polya en Google Libros

En matemáticas, a veces, encontramos curiosidades bien interesantes como las que se muestra a continuación:

Si se calcula 94 dividido entre 7, el resultado es:

Las curiosidades sobre ésta cadena de cifras son muchas. Por ejemplo,

Al calcular el resultado de las siguientes fracciones expresadas como decimales:

El orden en que aparecen las cifras es siempre el mismo, pero comenzando en cada caso por un número diferente.

Se presentan seis ordenamientos posibles:

Los seis números de la lista pueden combinarse en otras operaciones para ofrecer resultados sorprendentes. Por ejemplo, se pueden tomar cualquiera de ellos y multiplicarlo por 2, por 3, por 4, por 5, por 6. ¿Que curiosidad se observa?

También puede elegirse a pares y sumarlos, por ejemplo:

¡y otra vez las mismas cifras!

Por sus sorprendentes cualidades, el 428571 y sus combinaciones han sido utilizados no sólo por las matemáticas recreativas, sino también en sorprendentes trucos de magia.

Vale la pena hacer notar que una de las combinaciones de éste número tiene un sitio web: www.428571.com

En un artículo futuro trataremos de mostrar una explicación de lo que ocurre con éstas cifras.

En éste post vamos a examinar algunas estrategias típicas que han demostrado ser útiles para resolver problemas matemáticos. Por supuesto, hay muchísimas estrategias, pero es preferible concentrarse en una y trabajarla a través de la resolución de varios problemas hasta dominarla completamente.

Comencemos:

1. Trata siempre de dibujar una figura o hacer algún tipo de diagrama, aún en aquellos casos en que no parezca posible o razonable.

   La importancia de éste principio es obvia cuando se trata de resolver problemas de geometría. Pero hay muchos problemas que, sin ser de geometría, admiten una interpretación geométrica. Bien lo dice el famoso proverbio: Una figura vale más que mil palabras.

2. Examina casos especiales sencillos y trata de ver si emerge algún patrón característico, entonces formula una conjetura y trata de probarla.

   En particular si tu problema depende de una parámetro natural n examina lo que sucede para los primeros valores de n. Aún si no llegas a descubrir un patrón característico, el exámen de casos especiales te ayudará a comprender mejor el problema y muchas veces te permitirá vislumbrar cuál podrá ser la solución.

3. Si en tu problema hay un sistema que cambia de estado al aplicarle ciertas transformaciones, trata de hallar un invariante.

   Los invariantes son muy útiles para probar la imposibilidad de pasar de un estado a otro: si un invariante toma valores diferentes en dos estados, entonces es imposible pasar de uno al otro mediante transformaciones válidas.

4. Examina los objetos que maximizan o minimizan alguna función relacionada con la condición del problema.

Disponer de un buen repertorio de estrategias es de gran ayuda para aquella persona que resuelva problemas matemáticos. Sin embargo, es necesario tener presente que las reglas heurísticas no son infalibles. El éxito de su aplicación depende mucho de la experiencia, juicio y buen sentido de quien las use.